29 января алгебра и начала анализа 11 Б класс.

Тема урока. Статистическая обработка данных.
 1. Термин  «простейшие»  в  применении  к  вероятностным  задачам означает отсутствие формульной комбинаторики (числа размещений и сочетаний).

Во время выполнения устной работы мы вспоминаем понятия случайного события, вероятности наступления этого события и формулируем знакомое из курса основной школы классическое определение вероятности: «Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания».

2. Учащиеся вспоминают и самостоятельно формулируют алгоритм нахождения вероятности случайного события:

1 шаг. Найти число N всех возможных исходов испытания.

2 шаг. Найти количество N (А) тех исходов, в которых наступает событие А.

3 шаг. Вычислить вероятность события А по формуле: Р(А)=N (А)/N

3. Рассматриваем пример 1 со с. 314 учебника. Вспоминаем правило умножения:

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

4. Рассматриваем пример 2 со с. 315–316 учебника. Замечаем, что в некоторых случаях удобнее подсчитывать не те исходы, когда некоторое событие А наступает, а когда оно не наступает. Вероятности таких противоположных событий связаны соотношением: их сумма равна 1.

Рассматриваем пример 3 со с. 316 учебника.

На этом уроке закрепляется умение работать с простейшими комбинаторными ситуациями: проводить непосредственный перебор всех случаев, разумно организовывать перебор и использовать правило умножения. Единственным отличием от курса основной школы является отсутствие дерева возможных вариантов.

1. № 51.1.  Решение:   а) N = 12 + 14 + 13 + 11 = 50;   N (А) = 14;   P (А) = 14/50 = 0,28.

б) N = 50;   N (А) = 12 + 11 = 23;   P (А) = 23/50 = 0,46.

в) N = 50;   N (А) = 12 + 14 + 13 = 39;   P (А) = 39/50 = 0,78.

г) N = 50;   N (А) = 39;   P (А) = 0,78.

2. № 51.2.  Решение:   Найдем количество точек по правилу умножения.  N = 5 · 5 = 25.

а) Точка лежит правее оси ординат, если её абсцисса больше нуля, таких вариантов

N (А) = 3 · 5 = 15;    P (А) = 15/25 = 0,6.

б) Точка лежит ниже оси абсцисс, если её ордината меньше нуля, таких вариантов

N (А) = 2 · 5 = 10;    P (А) = 10/25 = 0,4.

в) Точка лежит в IV координатной четверти, если её абсцисса положительна, а ордината – отрицательна, таких вариантов

N (А) = 3 · 2 = 6;    P (А) = 6/25 = 0,24.

г) Точка лежит ниже прямой у = х, если имеет абсциссу больше, чем ординату. Из всех 25 точек у 5 точек координаты равны между собой. Оставшиеся 20 точек делятся на два множества, симметричных относительно прямой у = х. Значит

N (А) = 20/2 = 10;   P (А) = 10/25 = 0,4.

3. № 51.4*.    Решение:   Составим множество всех чисел вида x = 2^a5^b, где a, b Î {0, 1, 2, 3, 4} (совпадения допускаются). Из этого множества случайным образом выбрали одно число. Какова вероятность того, что оно будет: а) больше 1; б) меньше 20; в) нечетным; г) не оканчиваться нулем?

Решение:  Для выбора показателя степени а есть 5 исходов и независимо от этого для выбора показателя степени b есть 5 исходов. По правилу умножения получаем, что всего составлено N = 5 · 5 = 25 чисел.

а) Только одно число равно 1 = 2⁰ · 5⁰. Все остальные числа больше 1. Вероятность равна  24/25= 0,96.

б) Пусть а = 0; в этом случае x = 2^a5^b = 5^b. Тогда x < 20 Þ b < 2, то есть b = 0 или b = 1. Пусть а = 1; в этом случае x = 2^a · 5^b = 2 · 5^b. Здесь тоже b = 0 или b = 1. Пусть а = 2; в этом случае x = 2^a · 5^b = 4 · 5^b. Тогда b = 0, так как уже при b = 1 получаем х = 4 · 5 = 20. Аналогично и при а = 3, и при а = 4 интересующее нас событие произойдет только при b = 0. Всего получается 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7 исходов, благоприятствующих наступлению нужного события x < 20. Вероятность равна 7/25 = 0,28.

в) Число x = 2^a5^b будет  нечетным  в том и только в том случае, когда а = 0. Таких случаев пять: столько, сколько есть вариантов выбора для b. Вероятность равна 5/25 = 0,2.

г) Число x = 2^a5^b оканчивается нулем в том и только в том случае, когда а > 0 и b > 0, то есть для выбора каждого из чисел а и b есть 4 варианта: 1, 2, 3, 4. По правилу умножения получаем, что N (А) = 4 · 4 = 16. Значит, в 25 – 16 = 9 случаях число не будет оканчиваться нулем. Вероятность равна 9/25 = 0,36.

4. № 51.5, № 51.6 (устно).   5. № 51.7 (а; б).

Решение:   а) Всего чисел 200 – 99 = 101. Из них 50 – нечетных и 51 – четное.

P (А) = 50/101.

б) Цифра 3 может стоять на втором или третьем месте (возможен повтор). По правилу умножения таких вариантов

N (А) = 1 · 9 + 1 · 9 + 1 = 19;   P (А) = 19/101.

Вопросы учащимся:

– Какие события называются случайными?

– Сформулируйте классическое определение вероятности. Каков алгоритм нахождения вероятности?

– Сформулируйте правило умножения для подсчета числа возможных исходов независимого проведения двух испытаний.

– Какие события называются противоположными? Как связаны вероятности противоположных событий?

Домашнее задание: № 51.3, № 51.7 (в; г).