алгебра 9 В класс

Тема урока. Числовые последовательности

1. Рассмотрим четыре функции:

1) у = х2, х [0; 1];            3) у = х2;

2) у = х2, х [0; +∞);                  4) у = х2, х N.

Они заданы одной и той же формулой у = х2, но области определения функций различны.

В третьем случае D(f) = (–∞; +∞), в четвертом случае область определения – множество N натуральных чисел D(f) = N.

Графики этих функций изображены на рис. 121–124 (с. 137 учебника).

График четвертой функции состоит из отдельных точек.

2. Прочитать по учебнику на с. 112 две задачи из учебника «Алгебра–7» и сделать вывод, что функции, заданные на множестве натуральных чисел (у = f(x), x N), нужно изучать.

3. Математики как-то задумались: зачем писать у = f(x), x N, не проще ли в таких случаях писать у = f(n), договорившись раз и навсегда подразумевать в этой записи, что аргумента n – натуральное число (n N). Так и сделали: например, вместо записи у = х2, х N, решили использовать запись у = n2.

И еще об одном обстоятельстве они договорились:  вместо  f(1)  писать
у1, вместо f(2) – у2, вместо f(3) – у3 и т. д.; вместо f(n) – yn.

Значения функции у = f(n) можно записать последовательно одно за другим: f(1); f(2); f(3), …, f(n), … или же y1, y2, y3, …, yn, … Например, для функции у = n2 имеем: у1 = 1; у2 = 4; у3 = 9;… Полученные значения можно записать последовательно одно за другим: 1; 4; 9; 16; … n2, …

Число 1 в этой записи находится на первом месте, 4 – на втором, 9 – на третьем, 16 – на четвертом, а n2 – на n-ом месте.

4. Подчеркнем еще раз, что три математические модели:

1) у = f(x), х N;

2) у = f(n);

3) f(1), f(2), f(3), …, f(n), … или y1, y2, y3, …, yn, …

(уn = f(n)) – различны по форме, но одинаковы по содержанию.

5. О п р е д е л е н и е  1. Функцию вида у = f(x), x N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f(n) или y1, y2, y3, …, yn, … .

6. Значения y1, y2, y3 (и т. д.) называют соответственно первым, вторым, третьим (и т. д.) членами последовательности.

В символе уn число n называют индексом, который характеризует порядковый номер того или иного члена последовательности (уn).

7. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, словесный и рекуррентный.

8. Аналитическое задание числовой последовательности:

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена уn = f(n).

Рассмотреть примеры 1–10 на с. 139–142 учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 15.1 устно.

2. Решить № 15.4  в тетрадях.

3. Решить № 15.10 и 15.11 устно.

4. Решить № 15.12 (в; г) и 15.13 (в; г) в тетрадях.

5. Решить № 15.15 (в; г).

О т в е т: в) уn = n + 5; г) уn = – n.

6. Решить № 15.16 (в; г).

О т в е т: уn = 2n + 2; г) уn = 4n.

7. Решить № 15.17 (в; г).

О т в е т: в) уn = n2 + 1; г) уn = n3.

8. Решить № 15.38 (а; в).

Построить графики функций  и у = х2 – 4.

а)

График состоит из точек прямой с абсциссами х = 1; х = 2; х = 3 и т. д.

в) yn = n2 – 4.

График состоит из точек параболы с абсциссами х = 1; х = 2 и т. д.

Домашнее задание: изучить материал на с. 136–142 учебника; решить № 15.12 (а; б); № 15.13 (а; б); № 15.15 (а; б); № 15.16 (а; б); № 15.17 (а; б); № 15.38 (б; г).