19 февраля 11 Б класс алгебра и начала анализа.

Тема урока.Случайные события и их вероятности.
 1. Рассматриваем примеры со с. 332–333 учебника. В первом отрабатывается умение применять формулу P (А) + P (А) = 1, во втором – формулы Р (А + В) = Р (А) + Р (В) и Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) для попарно несовместных событий.

2. При изучении п. 2 следует обратить внимание на обоснование формулы Р (А + В) + Р (АВ) = Р (А) + Р (В) вероятности суммы двух произвольных событий.

3. Рассматриваем  пример  5  со с. 338 учебника. Затем формулируем теорему  Бернулли  о  вычислении  вероятности  наступления  k  успехов при п независимых повторениях одного и того же испытания с двумя исходами.

На примере 6 со с. 339 учебника  демонстрируем применение теоремы Бернулли при решении конкретных задач.

4. Рассматриваем вероятностную модель с бесконечным числом исходов, для которой классическое определение вероятности неприменимо. Вычисление состоит в нахождении частного , где А – фиксированная часть фигуры х.

Рассмотреть примеры 7 и 8 со с. 341–342 учебника. 

№ 54.4. 

№ 54.11.

Решение:

Речь идет о четырех независимых повторениях одного и того же испытания: ответа на один из 20 вопросов. 

б) Тут все четыре раза произошла «неудача», то есть k = 0. По формуле Бернулли  получаем P₄ (0) = 0,75⁴ » 0,316.

в) Тут  три  раза  произошла  «неудача»  и  был  один  «успех»,  то есть k = 1. По формуле Бернулли P_n (k) =  · p^k · q^{n – k} получаем

P₄ (1) =  · p³ · q^{4 – 3} = 4 · 0,25³ · 0,75 = 0,25² · 0,75 » 0,047.

г) Здесь k = 1, k = 2, k = 3 или k = 4. другими словами k ¹ 0. Значит, вероятность равна 1 – P₄ (0) » 0,684.

п. 4. Геометрическая вероятность.

№ 54.15.

б) Радиус r вписанной окружности равен  = 2. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Значит, вероятность равна  = 0,16.

в) Здесь  надо  найти  вероятность  события,  которое  противоположно  событию  из  пункта  а).  Поэтому  искомая  вероятность  равна  примерно 0,7.

г)  » 0,146.

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Для праздника «Последний звонок» купили упаковку, в которой 10 красных, 15 синих, 12 желтых и 18 зеленых шаров. Из упаковки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется красным или желтым?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x² и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямой у = 3?

Вариант 2

1. На выпускной вечер купили розы: 20 красных, 15 розовых, 25 белых и 10 желтых. Каждому выпускнику наугад доставали и дарили одну розу. Какова вероятность того, что последняя роза окажется желтой или красной?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x² и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямых х = –1 и х = 1?

ответьте на вопросы.

– Какие события называются попарно несовместными?

– Какое событие называют произведением событий? Суммой событий?

– Сформулируйте теоремы о вероятности суммы двух событий.

– Сформулируйте теорему Бернулли. Приведите пример.

– Дайте определение геометрической вероятности. Приведите пример.

Домашнее задание:  повторить  § 50–54;  № 54.3,  № 54.6,  № 54.10, № 54.14, № 54.19.