19 февраля 9 В класс алгебра.

Тема урока. Арифметическая прогрессия.

 Работа по учебнику.

1. Пусть дана арифметическая прогрессия (аn). Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом: аn – 1; аn; аn + 1. Известно, что аn – d = аn – 1; аn + d = an + 1.

2. Прочитать по учебнику формулировку этого утверждения и ему обратного (с. 155).

3. Формулировка теоремы, выражающей характеристическое свойство арифметической прогрессии.

4. Разобрать по учебнику на с. 155–156 решение примера 9.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить № 16.40 устно, используя характеристическое свойство арифметической прогрессии:

2. Решить № 16.42 (б) с комментированием на месте.

Если а14 + а16 = –20, то а15 = –20 : 2 = –10;

Если а29 + а31 = 40, то а30 = 40 : 2 = 20;

Найдем а15 + а30 = –10 + 20 = 10.

О т в е т: 10.

3. Решить № 16.44 на доске и в тетрадях.

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

 2у = 5у – 3; 3у = 3; у = 1.

О т в е т: 1.

4. Решить № 16.46. Решение объясняет учитель.

а) Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 104; 112; 120; … 992. У этой прогрессии а1 = 104; аn = 992; d = 8. Сначала найдем n (количество членов прогрессии):

аn = а1 + (n –1)d; 992 = 104 + (n – 1) × 8;

992 = 8n + 96; n = 112.

О т в е т: 61376.

б) Речь идет о сумме членов конечной арифметической прогрессии 101; 113; 125; 137; …; 989.

а1 = 101; d = 12; аn = 989. Найдем n.

аn = а1 + (n – 1)d; 989 = 101 + (n –1) × 12; 12n = 900; n = 75.

О т в е т: 40875.

5. Решить № 16.48 (б; г) на доске и в тетрадях.

б) а9 = –30; а19 = –45. Найдем аn.

аn = а1 + (n – 1)d = –18 + (n – 1)(–1,5) = –1,5n – 16,5.

г) а5 = 0,2; а16 = –7,5. Найдем an.

аn = 3 – 0,7(n – 1).

О т в е т: б) –18 – 1,5(n – 1); г) 3 – 0,7(n – 1).

6. Решить № 16.68·. Решение объясняет учитель.

Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получаем   уравнение     х – 3  = (х – 5)2; х2 – 11х + 28 = 0; х1 = 7; х2 = 4 – посторонний корень, не удовлетворяющий иррациональному уравнению 

О т в е т: 7.

Домашнее  задание:  повторить  материал  на  с.  145–156;  решить
№ 16.42 (а); 16.43; № 16.48 (а; в); 16.36 (а; б); 16.47 (в). 

19 февраля 11 Б класс алгебра и начала анализа.

Тема урока.Случайные события и их вероятности.
 1. Рассматриваем примеры со с. 332–333 учебника. В первом отрабатывается умение применять формулу P (А) + P (А) = 1, во втором – формулы Р (А + В) = Р (А) + Р (В) и Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) для попарно несовместных событий.

2. При изучении п. 2 следует обратить внимание на обоснование формулы Р (А + В) + Р (АВ) = Р (А) + Р (В) вероятности суммы двух произвольных событий.

3. Рассматриваем  пример  5  со с. 338 учебника. Затем формулируем теорему  Бернулли  о  вычислении  вероятности  наступления  k  успехов при п независимых повторениях одного и того же испытания с двумя исходами.

На примере 6 со с. 339 учебника  демонстрируем применение теоремы Бернулли при решении конкретных задач.

4. Рассматриваем вероятностную модель с бесконечным числом исходов, для которой классическое определение вероятности неприменимо. Вычисление состоит в нахождении частного , где А – фиксированная часть фигуры х.

Рассмотреть примеры 7 и 8 со с. 341–342 учебника. 

№ 54.4. 

№ 54.11.

Решение:

Речь идет о четырех независимых повторениях одного и того же испытания: ответа на один из 20 вопросов. 

б) Тут все четыре раза произошла «неудача», то есть k = 0. По формуле Бернулли  получаем P₄ (0) = 0,75⁴ » 0,316.

в) Тут  три  раза  произошла  «неудача»  и  был  один  «успех»,  то есть k = 1. По формуле Бернулли P_n (k) =  · p^k · q^{n – k} получаем

P₄ (1) =  · p³ · q^{4 – 3} = 4 · 0,25³ · 0,75 = 0,25² · 0,75 » 0,047.

г) Здесь k = 1, k = 2, k = 3 или k = 4. другими словами k ¹ 0. Значит, вероятность равна 1 – P₄ (0) » 0,684.

п. 4. Геометрическая вероятность.

№ 54.15.

б) Радиус r вписанной окружности равен  = 2. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Значит, вероятность равна  = 0,16.

в) Здесь  надо  найти  вероятность  события,  которое  противоположно  событию  из  пункта  а).  Поэтому  искомая  вероятность  равна  примерно 0,7.

г)  » 0,146.

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Для праздника «Последний звонок» купили упаковку, в которой 10 красных, 15 синих, 12 желтых и 18 зеленых шаров. Из упаковки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется красным или желтым?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x² и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямой у = 3?

Вариант 2

1. На выпускной вечер купили розы: 20 красных, 15 розовых, 25 белых и 10 желтых. Каждому выпускнику наугад доставали и дарили одну розу. Какова вероятность того, что последняя роза окажется желтой или красной?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x² и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямых х = –1 и х = 1?

ответьте на вопросы.

– Какие события называются попарно несовместными?

– Какое событие называют произведением событий? Суммой событий?

– Сформулируйте теоремы о вероятности суммы двух событий.

– Сформулируйте теорему Бернулли. Приведите пример.

– Дайте определение геометрической вероятности. Приведите пример.

Домашнее задание:  повторить  § 50–54;  № 54.3,  № 54.6,  № 54.10, № 54.14, № 54.19.

18 февраля алгебра 8 Б класс.

Тема урока.Рациональные уравнения.
1. Повторить понятие алгебраической дроби. Понятие области допустимых значений.
Разобрать алгоритм решения рационального уравнения на стр. 147-148 учебника.
Рассмотреть пример 1 и пример 2 на стр. 148-150 учебника.
2. Решить № 26.3,5,7,10,12.
Домашнее задание Прочитать материал на стр. 147-150 учебника, выучить алгоритм решения рациональных уравнений. Решить № 26. 2,6,9.

18 февраля математика 6 Г класс.

Тема урока. Признаки делимости на 3 и 9.
Решить устно № 866. Выполните письменно № 875, 870 б,878 вг, 869 б,г.
Домашнее задание: повторить пункты 25-29, на отдельных двойных листках выполнить  домашнюю контрольную работу 6 ( стр. 255-256 учебника).

30 января алгебра 8 Б.

Тема урока. Графическое решение квадратных уравнений

Решить по вариантам. 

Вариант 1	Вариант 2
№ 22.39 (а, г)	№ 22.39 (б, в)
№ 22.17 (а, г)	№ 22.17 (б, в)
№ 22.30 (а)	№ 22.30 (б)
№ 22.41	№ 22.44

Решить   квадратное уравнение x2 + 4x  – 5 = 0 различными способами:

1) Для решения данного уравнения можно построить на координатной плоскости параболу функции y = x2 + 4x – 5 и найти точки пересечения данной параболы с осью Ox. Решением уравнения будут являться числа, соответствующие абсциссам точек пересечения.  2) Можно часть выражения перенести на другую сторону таким образом, чтобы с одной стороны выражение составляло квадратичную функцию, а с другой стороны – линейную функцию.

Например x2 + 4x = 5,  или x2 = 5 – 4x, или x2 – 5 = –4x. В этом случае нужно на одной координатной плоскости построить график квадратичной функции – параболу и график линейной функции – прямую. Значения абсцисс точек пересечения получившихся графиков и будут являться корнями данного уравнения.

3) Так же можно данное выражение разделить на переменную x, получив выражение  В данном случае можно выражение разделить на две части, таким образом, чтобы с одной стороны осталось выражение, соответствующее линейной функции, тогда с другой стороны останется гипербола.

Рассмотреть решение уравнений № 23.1 (а, г); 29.2 (а, г); 23.5; 23.8 (а, г); 23.12 (а, г).

Домашнее задание:  решить  задание  № 23.4,  пример (в)  из заданий № 23.1; 23.2; 23.8; 23.12.

30 января математика 6 Г

Тема урока.  Делимость произведения.
Решить № 744 г, 747,749 авдж,750 б,756 бге,758 б.
Задание на дом: № 749 бгез, 750 а,756 авд,766.

30 января геометрия 9 Б класс

Правильные многоугольники.

1. Рассмотреть решение задачи 1 пункта 109.

2. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность.

3. Рассмотреть решение задачи 2 пункта 109.

4. Построение правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность (рис. 310).

5. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, шестнадцатиугольника, вписанных в окружность.

6. Построение правильных шестиугольника, треугольника, описанных около окружности.

7. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, описанных около окружности.

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Однако с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Домашнее задание:  выполнить  аналогичное  задание  на  чертежных листах (построение правильных многоугольников, вписанных в окружность, и построение правильных многоугольников, описанных около окружности).

Решить задачи №№ 1095, 1096, 1097.